Para carregar um pesado pacote, de massa M = 90 kg, ladeira acima, com velocidade constante, duas pessoas exercem forças diferentes. O Carregador 1, mais abaixo, exerce uma força F₁ sobre o pacote, enquanto o Carregador 2, mais acima, exerce uma força F₂.

No esquema da página de respostas estão representados, em escala, o pacote e os pontos C₁ e C₂, de aplicação das forças, assim como suas direções de ação.

a) Determine, a partir de medições a serem realizadas no esquema da página de respostas, a razão R = F₁/F₂, entre os módulos das forças exercidas pelos dois carregadores.

c) Indique, no esquema da página de respostas, com a letra V, a posição em que o Carregador 2 deveria sustentar o pacote para que as forças exercidas pelos dois carregadores fossem iguais.

Para o equilíbrio, o somatório dos torques em relação ao centro de massa (CM) deve ser nulo:

NOte e aDOte: a massa do pacote é distribuída uniformemente e, portanto, seu centro de massa, CM, coincide com seu centro geométrico.

c) Para que F₁ = F₂, os traços de d₁ e d₂ deverão ser iguais e, portanto, o traço de F₂ deve valer 4 unidades de distância e o ponto V está indicado na figura.

Respostas: a) R = 2 b) F₁ = 600 N e F₂ = 300 N c) Ponto V indicado na figura

Duas pequenas esferas iguais, a e B, de mesma massa, estão em repouso em uma superfície horizontal, como representado no esquema abaixo. Num instante t = 0 s, a esfera a é lançada, com velocidade V₀ = 2,0 m/s, contra a esfera B, fazendo com que B suba a rampa à frente, atingindo sua altura máxima, H, em t = 2,0 s. ao descer, a esfera B volta a colidir com a, que bate na parede e, em seguida, colide novamente com B. assim, as duas esferas passam a fazer um movimento de vai e vem, que se repete.

a) Determine o instante t_A, em s, no qual ocorre a primeira colisão entre a e B.

b) Represente, no gráfico da página de respostas, a velocidade da esfera B em função do tempo, de forma a incluir na representação um período completo de seu movimento.

NOte e aDOte: Os choques são elásticos. tanto o atrito entre as esferas e o chão quanto os efeitos de rotação devem ser desconsiderados.

Considere positivas as velocidades para a direita e negativas as velocidades para a esquerda.

b) Como a colisão entre A e B é elástica e unidimensional e as esferas têm massas iguais, haverá troca de velocidades na colisão. A esfera B também gastará Δt₂= 0,8s para chegar ao início da rampa. A subida da rampa levará um tempo Δt₃ dado por: Δt= Δt₁+ Δt₂+ Δt₃

Sendo o movimento na rampa uniformemente variado, o tempo de subida na rampa será igual ao tempo de descida (0,4s) e, pela conservação da energia mecânica, a velocidade escalar da esfera B, ao voltar ao plano horizontal, será negativa (inversão no sentido do movimento), porém com o mesmo módulo, 2,0m/s. O tempo gasto para percorrer 1,6m volta a ser de 0,8s; na 2-ª

colisão, haverá nova troca de velocidades entre B e A e, novamente, mais 0,8s para percorrer 1,6m até atingir o anteparo. Na colisão elástica com o anteparo, a bola inverte o sentido de sua velocidade e o ciclo se reinicia.

c) O período T do ciclo corresponde ao tempo desde a partida de A no instante t = 0 até o retorno de A ao anteparo no instante t = 4,0s, portanto:

a usina hidrelétrica de Itaipu possui 20 turbinas, cada uma fornecendo uma potência elétrica útil de 680 MW, a partir de um desnível de água de 120 m. No complexo, construído no Rio Paraná, as águas da represa passam em cada turbina com vazão de 600 m³/s.

a) estime o número de domicílios, N, que deixariam de ser atendidos se, pela queda de um raio, uma dessas turbinas interrompesse sua operação entre 17h30min e 20h30min, considerando que o consumo médio de energia, por domicílio, nesse período, seja de quatro kWh.

b) estime a massa M, em kg, de água do rio que entra em cada turbina, a cada segundo. c) estime a potência mecânica da água P, em MW, em cada turbina.

NOte e aDOte: Densidade da água = 10³ kg/m³1 MW = 1 megawatt = 10⁶ W 1 kWh = 1000 W × 3600 s = 3,6 × 10⁶ J

em 3,0 h corresponde a: E_turbina = Pot · ∆t E_turbina = 680 · 10³ · 3,0 (kWh) E_turbina = 2040 · 10³ (kWh) E_turbina = 2,04 · 10⁶ kWh

Cada domicílio consome E₁ = 4,0 kWh. Assim, o número de domicílios N que deixaram de ser atendidos é dado por:

b) De acordo com os dados, a turbina recebe um volume de 600 m³ de água em um segundo. Temos, então:

Valores medidos
V0	500 mL
∆V	25 mL
h	50 cm

Para se estimar o valor da pressão atmosférica, P_atm, pode ser utilizado um tubo comprido, transparente, fechado em uma extremidade e com um pequeno gargalo na outra. O tubo, aberto e parcialmente cheio de água, deve ser invertido, segurando-se um cartão que feche a abertura do gargalo (Situação I). em seguida, deve-se mover lentamente o cartão de forma que a água possa escoar, sem que entre ar, coletando-se a água que sai em um recipiente (Situação II). a água pára de escoar quando a pressão no ponto a, na abertura, for igual à pressão atmosférica externa, devendo-se, então, medir a altura h da água no tubo (Situação III). em uma experiência desse tipo, foram obtidos os valores, indicados na tabela, para V₀, volume inicial do ar no tubo, ∆V, volume da água coletada no recipiente e h, altura final da água no tubo. em relação a essa experiência, e considerando a Situação III,

do ar no tubo e a pressão atmosférica; b) escreva a expressão matemática que relaciona, no ponto a, a P com a pressão P do ar e a altura h da

água dentro do tubo; c) estime, utilizando as expressões obtidas nos itens anteriores, o valor numérico da pressão atmosférica P, em N/m².

NOte e aDOte: Considere a temperatura constante e desconsidere os efeitos da tensão superficial.

a) O ar contido no tubo sofre uma expansão isotérmica, logo: PV = P₀V₀ ⇒ P(V₀ + ∆V) = P

Um roqueiro iniciante improvisa efeitos especiais, utilizando gelo seco (CO₂ sólido) adquirido em uma fábrica de sorvetes. embora o início do show seja à meia-noite (24 h), ele o compra às 18 h, mantendo-o em uma “geladeira” de isopor, que absorve calor a uma taxa de aproximadamente 60 W, provocando a sublimação de parte do gelo seco. Para produzir os efeitos desejados, 2 kg de gelo seco devem ser jogados em um tonel com água, a temperatura ambiente, provocando a sublimação do CO₂ e a produção de uma “névoa”. a parte visível da “névoa”, na verdade, é constituída por gotículas de água, em suspensão, que são carregadas pelo CO₂ gasoso para a atmosfera, à medida que ele passa pela água do tonel. estime:

a) a massa de gelo seco, M_gelo, em kg, que o roqueiro tem de comprar, para que, no início do show, ainda restem os 2 kg necessários em sua “geladeira”.

b) a massa de água, M_água, em kg, que se transforma em “névoa” com a sublimação de todo o CO₂, supondo que o gás, ao deixar a água, esteja em CNTP, incorporando 0,01g de água por cm³ de gás formado.

Sublimação: passagem do estado sólido para o gasoso. temperatura de sublimação do gelo seco = – 80º C. Calor latente de sublimação do gelo seco = 648 J/g. Para um gás ideal, PV = nRt. Volume de 1 mol de um gás em CNtP = 22,4 litros. Massa de 1 mol de CO₂ = 44 g. Suponha que o gelo seco seja adquirido a – 80ºC.

b) A sublimação de 2 kg de CO₂ “carrega” uma massa de vapor d’água, que representa 0,01 g/cm³.

Como cada 44 g de CO₂ ocupam 22,4 ,, temos: 44 g de CO₂ 22,4 , 2 000 g de CO₂ V(,)

em um museu, um sistema ótico permite que o visitante observe detalhes de um quadro sem se aproximar dele. Nesse sistema, uma lente convergente, de distância focal fixa, projeta a imagem do quadro (ou parte dela) sobre uma tela de receptores, que reproduzem essa imagem em um monitor (do mesmo tamanho da tela). O sistema pode ser aproximado ou afastado do quadro, pelo visitante, que deve ainda ajustar a distância entre a lente e a tela, para focalizar a imagem na tela. a Figura 1, da página de respostas, esquematiza a situação em que um quadro é projetado na tela/monitor. a Figura 2 esquematiza a situação em que o visitante aproxima a lente do quadro e ajusta a distância lente-tela, obtendo uma imagem nítida na tela/monitor. Para verificar o que é observado, nesse caso, pelo visitante,

a) assinale, na Figura 1 da página de respostas, traçando as linhas de construção necessárias, a posição do foco da lente, indicando-a pela letra F.

b) assinale, na Figura 2 da página de respostas, traçando as linhas de construção necessárias, a nova posição da tela para que a imagem seja projetada com nitidez, indicando-a pela letra T.

c) desenhe, na Figura 2, a imagem formada sobre a tela, tal como vista no monitor.

da tela/monitor, isto é, o que se projeta é apenas o quadrado central, sem as quatro pontas triangulares que aparecem no quadro.

	De fato:
	i	= –	p’	⇒	i	= –	90
	o		p		12		180

a propagação de ondas na água é estudada em grandes tanques, com detectores e softwares apropriados. em uma das extremidades de um tanque, de 200 m de comprimento, um dispositivo D produz ondas na água, sendo que o perfil da superfície da água, ao longo de toda a extensão do tanque, é registrado por detectores em instantes subseqüentes. Um conjunto de ondas, produzidas com freqüência constante, tem seu deslocamento y, em função do tempo, representado ao lado, tal como registrado por detectores fixos na posição x = 15 m. Para esse mesmo conjunto de ondas, os resultados das medidas de sua propagação ao longo do tanque são apresentados na página de respostas. esses resultados correspondem aos deslocamentos y do nível da água em relação ao nível de equilíbrio (y = 0 m), medidos no instante t = 25 s para diversos valores de x. a partir desses resultados:

d) Identifique, no gráfico da página de respostas (t = 25 s), as posições das ondas a, B, C, D e e, assinaladas na figura acima, ainda que, como pode ser observado, as amplitudes dessas ondas diminuam com sua propagação.

c) A intensidade v da velocidade da onda é dada por: v = l f v = 25 · 0,20 (m/s)

d) Do gráfico (yxt), observamos que o pico E da onda está na posição x = 15m no instante t = 25s. Os picos anteriores estão posicionados a intervalos constantes de 25m, medidos a partir deste pico E:

Duas pequenas esferas iguais, a e B, carregadas, cada uma, com uma carga elétrica Q igual a – 4,8 x 10^–9 C, estão fixas e com seus centros separados por uma distância de 12 cm. Deseja-se fornecer energia cinética a um elétron, inicialmente muito distante das esferas, de tal maneira que ele possa atravessar a região onde se situam essas esferas, ao longo da direção x, indicada na figura, mantendo-se eqüidistante das cargas.

a) esquematize, na figura da página de respostas, a direção e o sentido das forças resultantes F₁ e F₂, que agem sobre o elétron quando ele está nas posições indicadas por P₁ e P₂.

b) Calcule o potencial elétrico V, em volts, criado pelas duas esferas no ponto P₀.

c) estime a menor energia cinética e, em eV, que deve ser fornecida ao elétron, para que ele ultrapasse o ponto P₀ e atinja a região à direita de P₀ na figura.

NOte e aDOte: Num ponto P, V = KQ/r, onde r é a distância da carga Q ao ponto P. K = 9 x 10⁹ (N.m²/C²). q = carga do elétron = – 1,6 x 10^–19 C.

a) As forças elétricas que atuam no elétron, nos pontos P₁ e P₂, são representadas na figura que se segue.

V₁ = –720 V O potencial resultante em P₀ é: V = 2 · V₁ = 2 · (–720) V V = – 1 440 V

c) A energia potencial do elétron ao passar pelo ponto P₀ é dado por: E_pot= – e · V E= – 1,6 · 10^–19 · (–1 440) J

Para que o elétron ultrapasse o ponto P₀, a menor energia cinética que se deve fornecer a ele é estimada em 1440 eV, uma vez que, no infinito, de onde foi lançado, a energia potencial dele é nula.

A rigor, essa energia deverá ser maior que esse valor para que o elétron ultrapasse o ponto P₀.

Utilizando-se um gerador, que produz uma tensão V₀, deseja-se carregar duas baterias, B-1 e B-2, que geram

respectivamente 15 V e 10 V, de tal forma que as correntes que alimentam as duas baterias durante o processo de carga mantenham-se iguais (i₁ = i₂ = i). Para isso, é utilizada a montagem do circuito elétrico representada ao lado, que inclui três resistores R₁, R₂ e R₃, com respectivamente 25 Ω, 30 Ω e 6 Ω, nas posições indicadas. Um voltímetro é inserido no circuito para medir a tensão no ponto a.

a) Determine a intensidade da corrente i, em ampères, com que cada bateria é alimentada. b) Determine a tensão V, em volts, indicada pelo

voltímetro, quando o sistema opera da forma desejada. c) Determine a tensão V₀, em volts, do gerador, para que o sistema opere da forma desejada.

a) O circuito elétrico dado pode ser esquematizado pelo circuito equivalente que se segue:

Nos ramos que contêm as baterias B₁ e B₂, podemos igualar as duas tensões: U₁ = U₂ 10 + 30i₁ = 15 + 25i₂ Sendo i₁ = i₂ = i, 10 + 30i = 15 + 25i ⇒ i₁ = i₂ = i = 1,0 A

b) O voltímetro lê a tensão elétrica de cada um dos ramos anteriores. Assim, podemos determinar a tensão V_A, por ele indicada, fazendo:

V_A = ε + r · i (trata-se de um receptor) V_A = 15 + 25 i₁ Sendo i₁ = i = 1,0 A, V_A = 15 + 25 · 1,0 ⇒ V_A = 40 volts

Respostas: a) 1,0 A

				b) 40 V
				c) 52 V
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É possível acender um LeD, movimentando-se uma barra com as mãos? Para verificar essa possibilidade, um jovem utiliza um condutor elétrico em forma de U, sobre o qual pode ser movimentada uma barra M, também condutora, entre as posições X₁ e X₂. essa disposição delimita uma espira condutora, na qual é inserido o LeD, cujas características são indicadas na tabela ao lado. todo o conjunto é colocado em um campo magnético B (perpendicular ao plano dessa folha e entrando nela), com intensidade de 1,1 t. O jovem, segurando em um puxador isolante, deve fazer a barra deslizar entre X₁ e X₂. Para verificar em que condições o LeD acenderia durante o movimento, estime:

a) a tensão V, em volts, que deve ser produzida nos terminais do LeD, para que ele acenda de acordo com suas especificações.

b) a variação ∆φ do fluxo do campo magnético através da espira, no movimento entre X₁ e X₂.

c) O intervalo de tempo ∆t, em s, durante o qual a barra deve ser deslocada entre as duas posições, com velocidade constante, para que o LeD acenda.

NOte e aDOte: a força eletromotriz induzida ε é tal que ε = – ∆φ/∆t.

Resolução

a) A potência P do “LeD” é dada por:

P = i V 24 · 10 ^–3 = 20 · 10 ^–3V V = 1,2 volt

b) Como o campo magnético B que atravessa a espira é constante e normal ao seu plano, a variação do fluxo magnético ∆φ pela espira é dada por:

∆φ = B (∆a)

∆φ = 1,1 · 0,4 · 0,6 (Wb)

∆φ = 2,64 · 10 ^–1 Wb

c) A tensão V no “LeD” é o módulo da força


V = ⎢ε 
V =	∆φ ∆t
1,2 =		2,64 · 10–1 ∆t
∆t = 0,22 s

Respostas: a) 1,2 V b) 2,64 · 10^–1 Wb c) 0,22 s

	Assim:
	0,01 g			1 cm3
	Mágua		V(cm3)

				b) M = 6,0 · 105 kg
				c) P = 720 MW
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