MATEMÁTICA

01 – Um número natural é primo quando ele é divisível exatamente por dois números naturais distintos. Escolhendo, ao acaso, um número natural maior que zero e menor que 17, é correto afirmar que a probabilidade de esse número ser primo e deixar resto 1 na divisão por 4 é

A) ₈¹.

3B) ₁₆ ^.

C) ₈³. 7

D)

₁₆ ^. E) ¹₄.

π

02 – Se x e y medem radianos e a = sen y − cos y ,

12

o valor da expressão (2cos x + a)sen x −a cos x é

A) ¹₂. 1

B) − .

2

3

C) .

2 3

D) − .

2 E) 1.

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Vestibular de Verão/2007 – Prova 3 _{GABARITO 1} Matemática

03 – Assinale a alternativa incorreta. 2x 1

⇒= .

A) 13 =13 x

4 B) x²2x 0 x 0 ou x 2

−+ =⇒= =. C)

1−x 2 x −1

=⇒=.

D) log ₃81 xx4

=⇒=.

π

E) sec xx 2

=⇒=.

3

px ³ k² +−,

04 – Considerando o polinômio () =x −x xk com k∈\ , assinale a alternativa correta. A) ()

px possui duas raízes positivas. B) A soma e o produto das raízes de ( ) são

px

distintos. C) O polinômio ( )

px possui três raízes, mas apenas uma é complexa. D) O polinômio ( ) x +1

px é divisível por ² . E) O resto da divisão ( ) por +

de pxxk é

2

2(1) .

kk +, para todo k∈\

x

⎡30⎤

05 – Considere a matriz A=_{⎢ ⎥}, em que x∈\ . 01

⎣⎦

Assinale a alternativa correta.

2

A) A ≠Apara todo x∈\ . B) A matriz Aé invertível para todo x∈\ . C) A inversa da matriz Aé distinta da matriz Apara

todo x∈\ .

2

D) O determinante da matriz A é 2.3 ^x . ⎡ab⎤

E) Se B=_{⎢ ⎥}, com abcd,,,∈\ , então

cd

⎣⎦ AB BA= se, e somente se, x=0.

06 – Considere as retas perpendiculares r e s de equações yax−3 e y=2+, respectivamente.

= xb Sabendo que a,2 e b estão, nessa ordem, em uma Progressão Geométrica, é correto afirmar que o

ponto de interseção de re sé A) (2, −4) . B) ( 3,2).

−

C) (3, 4)

−− . D) (2, −3) . E) (4, −2) .

Cálculos

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Vestibular de Verão/2007 – Prova 3

GABARITO 1

Matemática

Considere o texto a seguir para responder às duas

Cálculos próximas questões.

Em uma circunferência de centro O e cuja medida do raio é 2 cm, constrói-se um quadrilátero inscrito ABCD. Sabese que

• a diagonal BD é o diâmetro da circunferência; • o ângulo interno D^ˆ do triângulo ABD mede 30º; • o ângulo interno B^ˆ do triângulo BCD mede 45º.

07 – Com relação ao texto, é correto afirmar que A) o triângulo AOD é eqüilátero. B) o quadrilátero ABCD possui um ângulo de 60º. C) o triângulo OBC é obtusângulo. D) o quadrilátero ABCD possui um ângulo de 120º. E) o quadrilátero ABCD possui dois ângulos retos.

08 – Com base no texto, é incorreto afirmar que A) o lado AD mede 3 cm. B) a diagonal BD mede 4 cm. C) o lado BC mede 2 2 cm. D) o lado DC mede 22 cm.

E) o lado AB mede 2 cm.

09 – Com relação aos números complexos, assinale a alternativa incorreta. 2kπ 2kπ

A) Para todo k ∈], z =cos_{( )}+i sen ₍₎ é

nn

*

solução de xⁿ 1 0 , para qualquer n ∈` .

−=

2006 2008

i +i 2007

B) =i .

2

ππ

C) i (cos θ+isen ) cos ₍θ+ ₎+i sen ₍₎

θ= θ+ , em

22 que θ∈\ .

D) Se za, então z ² +z ² =2(a +b)(

=+bi a −b),

em que ,ab ∈\ e z é o conjugado de z .

1 z

E) Se z 1 = , em que z=−i , então é o

z 2 conjugado de z .

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15

10 – Com respeito ao binômio (1+x) , em que x ∈\ , é correto afirmar que A) o binômio possui exatamente 15 termos não

nulos distintos. B) o binômio possui 15 raízes distintas. C) o coeficiente de x¹⁵ é 15. D) a soma do coeficiente de x⁹ com o coeficiente

16

⎛⎞

_x10

de é .

⎜⎟

10

⎝⎠

E) o coeficiente de x⁷ é diferente do coeficiente de

8

x .

11 – Na figura a seguir, esboçamos o gráfico de duas

2

funções f e g, dadas por fx =x 2

() x 1

++ e g()x =log x .

2

g

Sabe-se que o ponto C é a interseção do gráfico da

função f com o eixo y , os pontos A e C têm a mesma ordenada, os pontos A e B possuem a mesma abscissa, A pertence ao gráfico de g e B pertence ao gráfico de f . Dessa forma, a distância do ponto A ao ponto B é A) 6. B) 7. C) 8. D) 9. E) 10.

Cálculos

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GABARITO 1

Matemática

12 – Considere duas retas r e s concorrentes em um ponto P. Com relação a essa informação, assinale a alternativa correta. A) Se t é uma reta perpendicular a r em P, então t não pode ser perpendicular a s em P. B) Qualquer plano contendo r intercepta s em um único ponto. C) Se u é uma reta reversa às retas r e s, então toda reta passando por P será reversa a u. D) Se u é uma reta reversa às retas r e s, então existe uma única reta passando por P paralela a u . E) Se m é uma reta paralela a r, então m intercepta s.

*

13 – Seja k ∈`. Se o número de diagonais de um polígono convexo é k vezes o seu número de lados, então é correto afirmar que o número de lados do polígono é A) 3k + 2. B) 2k − 3. C) k . D) 3k − 2. E) 2k + 3.

14 – Um engenheiro precisa conhecer a medida de cada lado de um terreno triangular cujo perímetro é 20 m, porém a planta do terreno foi rasgada e o que restou foi um pedaço, como na figura a seguir.

60º

8 m

Os lados do triângulo que não aparecem totalmente na planta do terreno medem A) 33m e (12 − 3 3) m. B) 5 m e 7 m.

C) 4,5 m e 7,5 m. D) 8 m e 4 m. E) 3 m e 9 m.

15 – Seja f () = log (2 − x)

x +log x uma função real de

22

variável real, assinale a alternativa correta.

*

A) O domínio de f é \ .

+

B) A função inversa de f é dada por

−1

f () = log 2 + log

x 2.

2−xx

C) f (2 − x) = f ()

x . D) O gráfico de f intercepta o eixo x em x = 2. E) O gráfico de f intercepta o eixo y em y = 2.

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