Prova 3 – Matemática

QUESTÕES APLICADAS A TODOS OS CANDIDATOS QUE REALIZARAM A PROVA ESPECÍFICA DE MATEMÁTICA.

UEM Comissão Central do Vestibular Unificado

GABARITO 2

MATEMÁTICA

01 – Na figura a seguir, esboçamos o gráfico de duas

2

funções f e g, dadas por fx = x + 2

() x+1 e

g()x = log x.

2

g

Sabe-se que o ponto C é a interseção do gráfico da

função f com o eixo y, os pontos A e C têm a mesma ordenada, os pontos A e B possuem a mesma abscissa, A pertence ao gráfico de ge B pertence ao gráfico de f. Dessa forma, a distância do ponto A ao ponto B é A) 6. B) 7. C) 8. D) 9. E) 10.

02 – Considerando o polinômio () = x − x + xk ,

px 3 k2 − com k∈\, assinale a alternativa correta. A) ()

px possui duas raízes positivas. B) A soma e o produto das raízes de ( ) são

px

distintos. C) O polinômio ( )

px possui três raízes, mas apenas uma é complexa.

2

D) O polinômio ( ) x +1

px é divisível por . E) O resto da divisão de ( ) por x+ k é

px

2

2(1) .

kk + , para todo k∈ \

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Cálculos

03 – Seja f () = log (2 − x)x +log x uma função real de

22

variável real, assinale a alternativa correta.

*

A) O domínio de f é \ .

+

B) A função inversa de f é dada por

−1

f () = log 2 + log

x 2.

2−xx

C) f (2 − x) = f ()

x . D) O gráfico de f intercepta o eixo x em x = 2. E) O gráfico de f intercepta o eixo y em y = 2.

π

04 – Se x e y medem radianos e a = sen y − cos y ,

12

o valor da expressão (2cos x + a)sen x −a cos x é

A) 12. 1

B) − .

2

3

C) .

2 3

D) − .

2 E) 1.

05 – Um número natural é primo quando ele é divisível exatamente por dois números naturais distintos. Escolhendo, ao acaso, um número natural maior que zero e menor que 17, é correto afirmar que a probabilidade de esse número ser primo e deixar resto 1 na divisão por 4 é

A) 81.

3B)

16 .

C) 83. 7

D)

16 . E) 14.

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GABARITO 2

Matemática

06 – Considere duas retas r e s concorrentes em um ponto P. Com relação a essa informação, assinale a alternativa correta. A) Se t é uma reta perpendicular a r em P, então t não pode ser perpendicular a s em P. B) Qualquer plano contendo r intercepta s em um único ponto. C) Se u é uma reta reversa às retas r e s, então toda reta passando por P será reversa a u. D) Se u é uma reta reversa às retas re s, então existe uma única reta passando por P paralela a u. E) Se m é uma reta paralela a r, então mintercepta s.

07 – Um engenheiro precisa conhecer a medida de cada lado de um terreno triangular cujo perímetro é 20 m, porém a planta do terreno foi rasgada e o que restou foi um pedaço, como na figura a seguir.

60º

8 m

Os lados do triângulo que não aparecem totalmente na planta do terreno medem A) 33 m e (12 −3 3) m. B) 5 m e 7 m.

C) 4,5 m e 7,5 m. D) 8 m e 4 m. E) 3 m e 9 m.

x

⎡30⎤

08 – Considere a matriz A=⎢ ⎥ , em que x∈\ . 01

⎣⎦

Assinale a alternativa correta. A) A2 ≠ Apara todo x∈\ . B) A matriz Aé invertível para todo x∈\ . C) A inversa da matriz Aé distinta da matriz Apara todo x∈ \ . D) O determinante da matriz A2 é 2.3 x . ⎡ab⎤

E) Se B , com ,, ,então

abcd∈\ ,

=⎢ ⎥

cd

⎣⎦ AB= BA se, e somente se, x= 0.

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*

Cálculos

09 – Seja k∈`. Se o número de diagonais de um polígono convexo é kvezes o seu número de lados, então é correto afirmar que o número de lados do polígono é A) 3k+2. B) 2k−3. C) k. D) 3k−2. E) 2k+3.

10 – Assinale a alternativa incorreta. 2x 1

A) 13 =13 x

⇒= .

4 B) −x2 +2x=0 x 0 ou x=2.

⇒=

C) 1−x 2 x −1.

=⇒=

D) log 381 xx4

=⇒= .

π

E) sec =⇒= xx 2.

3

11 – Com relação aos números complexos, assinale a alternativa incorreta. 2kπ 2kπ

A) Para todo k∈], z=cos +isen é

(n )(n )

*

solução de 10 n∈` .

xn−= , para qualquer

2006 2008

i +i 2007

B) =i .

2

π

C) i(cos θ+isen θ) =cos (θ+π)+isen (θ+ ), em

22 que θ∈\ .

D) Se za=+bi , então z2 +z2 =2(a+)(

ba −b),

em que ,\ e z é o conjugado de z.

ab∈

1 z

E) Se z 1 i = , em que z=−, então é o

z 2 conjugado de z.

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Considere o texto a seguir para responder às duas próximas questões.

Em uma circunferência de centro O e cuja medida do raio é 2 cm, constrói-se um quadrilátero inscrito ABCD. Sabese que

•a diagonal BD é o diâmetro da circunferência; •o ângulo interno Dˆ do triângulo ABD mede 30º; •o ângulo interno Bˆ do triângulo BCD mede 45º.

12 – Com base no texto, é incorreto afirmar que A) o lado AD mede 3 cm. B) a diagonal BD mede 4 cm. C) o lado BC mede 22 cm. D) o lado DC mede 2 2 cm.

E) o lado AB mede 2 cm.

13 – Com relação ao texto, é correto afirmar que A) o triângulo AOD é eqüilátero. B) o quadrilátero ABCD possui um ângulo de 60º. C) o triângulo OBC é obtusângulo. D) o quadrilátero ABCD possui um ângulo de 120º. E) o quadrilátero ABCD possui dois ângulos retos.

14 – Considere as retas perpendiculares r e s de equações yax3 y =+xb , respectivamente.

=−e 2 Sabendo que a,2e b estão, nessa ordem, em uma Progressão Geométrica, é correto afirmar que o

ponto de interseção de r e s é A) (2, −4) . B) ( 3,2).

−

C) (3, 4)

−−. D) (2, −3) . E) (4, −2) .

15

15 – Com respeito ao binômio (1+x) , em que x ∈\ , é correto afirmar que A) o binômio possui exatamente 15 termos não nulos distintos. B) o binômio possui 15 raízes distintas.

x15

C) o coeficiente de é 15. D) a soma do coeficiente de x 9 com o coeficiente

⎛⎞

10 16

de x é .

⎜⎟

10

⎝⎠

E) o coeficiente de x 7 é diferente do coeficiente de x 8

.

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MATEMÁTICA – Formulário

Trigonometria sen(x ± y) = sen(x)cos(y) ± sen(y)cos(x) cos(x ± y) = cos(x)cos(y) ∓ sen(x)sen(y) tg(x ± y) = tg(x)tg(y)1 tg(y)tg(x) ∓ ± B c ˆB A Ca b ˆA ˆC Lei dos senos: C)sen( ˆ c B)sen( ˆ b A)sen( ˆ a == Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 – 2bc⋅cos(Â)
AnáliseCombinatória n!Pn = r)!(n n!An,r − = r)!r!(n n!Cn,r − = n n n n, 0 (a b) C a i bi i i − = + = ∑
GeometriaPlana e Espacial Área do losango: A= d D 2 Área do trapézio: (b + B)h A= 2 Área do círculo: A = πR2 Área lateral do cilindro: A = 2πRh Área lateral do cone: A = πRg Área da superfície esférica: A = 4πR2 Volume do cubo: V = a3 Volume do prisma: V = B ⋅ h Volume da pirâmide: 3 B hV ⋅ = Volume do cilindro: V = πR2h Volume do cone: 3 R hV 2π= Volume da esfera: R3 3 4V π=
Progressões Progressão Aritmética (P. A.): 1)r(naa 1n −+= 2 )na(a S n1 n + = Progressão Geométrica (P. G.): 1n 1n a qa −= 1, qq1 a qa S n 11 n ≠− − = 1,| q |q1 a S 1 <− = ∞
Geometria Analítica Área do triângulo de vértices 1 1P(x , y ) , 2 2Q(x , y ) e 3 3R(x , y ) : | D |,2 1A = onde 1yx 1yx 1yx D 33 22 11 = Distância de um ponto 0 0P(x , y ) à reta r: ax + by + c = 0 : 22 00 P,r ba cbyax d + ++ =

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