MATEMÁTICA

Prova de 2a Etapa

SÓ ABRA QUANDO AUTORIZADO.

Leia atentamente as instruções que se seguem.

1 -Este caderno contém oito questões, constituídas de itens e subitens, abrangendo um total de nove páginas, numeradas de 3 a 11. Antes de começar a resolver as questões, verifique se seu caderno está completo. Caso haja algum problema, solicite a substituição deste caderno.

2 -Esta prova vale 100 (cem) pontos, assim distribuídos:

� Questões 01, 03, 04, e 06: 12 (doze) pontos cada uma.

� Questão 02, 05, 07 e 08: 13 (treze) pontos cada uma. 3 -NÃO escreva seu nome nem assine nas folhas desta prova. 4 -Leia cuidadosamente cada questão da prova e escreva a solução, A LÁPIS,

nos espaços correspondentes. Só será corrigido o que estiver dentro desses espaços. NÃO há, porém, obrigatoriedade de preenchimento total desses espaços.

5 -NÃO serão consideradas respostas sem exposição de raciocínio. 6 -Não escreva nos espaços reservados à correção. 7 -Ao terminar a prova, entregue este caderno ao Aplicador.

FAÇA LETRA LEGÍVEL

Duração desta prova: TRÊS HORAS.

Impressão digital do polegar direito1 a vez vez

2a

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

COLE AQUI A ETIQUETA

Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z. A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região:

A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura:

XY Z

milho

10 20 15

soja

15 20 20

B =

feijão

30 20 30

  1. CALCULE a matriz C = AB.
  2. EXPLIQUE o significado de C23 , o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.

Seja f uma função real tal que f(x + 8) = f(x)

para todo x real.

O gráfico de f para –4 ≤ x ≤ 4 é apresentado nesta figura:

y

4

-4 -4

3
2
1
- 3 - 2 - 1 1 2 3
-1
-2
-3

x

1. CALCULE f

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

.

2. CALCULE f (31) .

3. FAÇA o esboço do gráfico de f para 6 ≤ x ≤ 14.

6 x

7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3

As dimensões a, b e c, em cm, de um paralelepípedo retângulo são as raízes do polinômio

p(x) = 6x3 – 44x2 + 103x – 77

  1. CALCULE o volume desse paralelepípedo.
  2. CALCULE a soma das áreas das faces desse paralelepípedo.
  3. CALCULE o comprimento da diagonal desse paralelepípedo.

Nesta figura, está representada uma circunferência de centro O:

Sabe-se que • os segmentos AB e BC medem, cada um, 4 cm;

  • a reta AB tangencia a circunferência no ponto B; • o segmento DF é perpendicular ao diâmetro BC; e
  • E pertence à circunferência e é o ponto médio do segmento DF.

CALCULE o comprimento do segmento OF.

Nesta figura, está representado o prisma reto ABCDEF, cuja base é um triângulo retângulo, em que BAˆC é o ângulo reto:

F

D

C

A

Sabe-se que

  • as arestas AB, AC e AD medem, respectivamente, 4 cm, 8 cm e 3 cm; e
  • M e N são, respectivamente, os pontos médios dos segmentos EF e DF.
  1. CALCULE a área do quadrilátero ABMN.
  2. CALCULE o volume do sólido ABEDMN.

Seja S o conjunto de números complexos z tais que |z – (2 + 4i)| = 2.

1. No plano complexo abaixo, FAÇA o esboço de S, sendo z = x + iy, com x e y números reais.

Y

6

-6

5
4
3
2
1
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3
-4
-5

X

-6

2. DETERMINE o ponto de S mais próximo da origem.

Vinte alunos de uma escola, entre os quais, Gabriel, Mateus e Roger, formam uma fila aleatoriamente.

  1. DETERMINE a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que Gabriel, Mateus e Roger apareçam juntos, em qualquer ordem.
  2. DETERMINE a probabilidade de essa fila ser formada de tal modo que, entre Gabriel e Mateus, haja, exatamente, cinco outros alunos.

Nesta figura, está representado o trapézio isósceles ABCD:

Sabe-se que • os segmentos AC e AD têm o mesmo comprimento; • o segmento BE é perpendicular ao segmento AD; e • os segmentos BC e BE medem, cada um, 1 cm.

  1. CALCULE o comprimento do segmento AE.
  2. CALCULE a tangente do ângulo θ.

Questões desta prova podem ser reproduzidas para uso pedagógico, sem fins lucrativos, desde que seja mencionada a fonte: Vestibular 2007 UFMG. Reproduções de outra natureza devem ser autorizadas pela COPEVE/UFMG.