Primeira Questão

• p(z) tem grau 3 e coeficientes reais, uma de suas raízes é um número real...........................2 pts.
• Como as três raízes z₀, z₁e z₂ de p(z) são vértices de um triângulo eqüilátero inscrito na circunferência de raio 2 centrada na origem, as únicas possibilidade para a raiz real z₀ são 2 ou −2 ..........................................................................................................................................4 pts.

Logo, ⎛ 1 3 ⎞

z = 2 cos120 °+ isen 120 °= 2 −+ i ⎟ =− 1+ i 3 e..................................................................2 pts.

1 () ⎜_⎜

⎟

22

⎝⎠

z₂ =− 1− i 3 .....................................................................................................................................2 pts. Portanto,

2 23

p(z)=(z − 2) z −(z + z ) z +(zz ) =(z − 2 z + 2z + 4 = z − 8...............................................3 pts.

( 12 12 ))( )

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Gabarito Final com Distribuição de Pontos Caso II: z₀ =− 2

Logo, ⎛ 1 3 ⎞

() ⎜ + i ⎟ = 1+ i 3 e ..........................................................................2 pts.

z₁ = 2 cos60 °+ isen 60 °= 2

⎜⎟

22

⎝⎠

z₂ = 1− i 3 . ......................................................................................................................................2 pts. Portanto,

2 23

p(z)=(z + 2) z −(z + z ) z +(zz ) =(z − 2)(z − 2z + 4 = z + 8...............................................3 pts.

( 12 12 ))

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Segunda Questão

2

(i) Resolvendo a equação f(x) = 0 ⇔ f (x) = x − 6x + 5 , segue que x =

6 ± 36 − 20 6 ± 4

x= = =ou seja x = 1 ou x = 5....................................................................2 pts. 22

(ii) Dado que (g � f )( ) = 0 , segue que f () =−

xx 3 (*)........................................................................3 pts. ou f () =

x 5(**)...............................................................................................................................3 pts.

(iii) De (*) encontramos a equação x ² − 6x + 8 = 0 . ....................................................................1 pt.

( 6) ± ( 6) ² − 4.(1).(8) ± 2

−− − 6

Resolvendo a mesma segue que: x == ...........................................1 pt.

2.(1) 2 desta forma x₁ = 4 ...........................................................................................................................2 pts. ou x₂ = 2 ...........................................................................................................................................2 pts.

(iv) De (**) encontramos a equação x ² − 6x = 0 ................................................................................1 pt.

6 ± 36

Resolvendo a mesma segue que x =

.................................................................................1 pt.

2

desta forma x₁ = 0 ............................................................................................................................2 pts. ou x₂ = 6 ..........................................................................................................................................2 pts.

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Terceira Questão – Valor: 20 pontos

• Fórmula do volume da pirâmide: Vpirâmide =1/3.(área da base).(altura da pirâmide).............................................................2 pts.
• Cálculo do lado do hexágono regular ........................................................................................2 pts.

l²= 3²+3²

l =3 2 cm

• Área do hexágono regular = 6.(área do triângulo equilátero).....................................................3 pts.
• Altura da pirâmide = ½.(diagonal do cubo).................................................................................4 pts.
• Cálculo da diagonal do cubo.......................................................................................................4 pts.
• Substituição dos valores numéricos na fórmula do volume da pirâmide ...................................2 pts.

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⎧⎪⎨ ⎪⎩

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Quarta Questão

x: comprimento da vela de Joana

y: comprimento da vela de Maria

x + y = 22 cm.....................................................................................................................................4 pts. 10 9

x-x= x : o que restou da vela de Joana...........................................................................3 pts. 100 10

25 3

y-y= y : o que restou da vela de Maria..............................................................................3 pts. 100 4

93

Portanto, x = y .........................................................................................................................4 pts.

10 4

x + y = 22 9 3 .......................................................................................................................................2 pts.

x = y

10 4 x =10 e y= 12 Pedaço da vela de Joana: 10 cm......................................................................................................4 pts.

Pedaço da vela de Maria: 12 cm