(xy,)forma de uma imagem, está transformando cada ponto
de coordenadas ( x, y) , que forma a imagem, em um
PROCESSO SELETIVO 2007 3O DIA
MATEMÁTICA – QUESTÕES DE 01 A 05
01. Em computação gráfica, quando um programa altera a
(xy,)forma de uma imagem, está transformando cada ponto
de coordenadas ( x, y) , que forma a imagem, em um
imagem 2
novo ponto de coordenadas (a,b) . A figura ao lado ilustra a transformação da imagem 1 na imagem 2.
Um dos procedimentos que consiste em transformar o ponto ( x, y) no ponto (a,b) é realizado, através de
im agem 1
operações com matrizes, de acordo com as seguintes etapas:
−
1 Etapa 2: Tome P e Q as matrizes cujas entradas são as coordenadas dos pontos ( x, y)e(a,b),
Fixe duas matrizes invertíveis M e E , de ordem 2, e considere Ma matriz inversa de M .Etapa 1:
⎡⎤⎡
x
respectivamente, isto é,P
=
eQ
=⎥⎦
⎢⎣
a
b
⎢⎣⎥⎦
.
y
−1
Etapa 3: Obtenha Q a partir de P por meio da expressão Q
=
EM P.
⎤⎤
22
Considerando estas etapas e as matrizesM
⎥⎦
eE
=
, determine:
⎥⎦
−
33
a) a inversa de M.
b)oponto (a,b) que é obtido do ponto (2, 3) por meio da expressão Q EM
=
3O DIA PROCESSO SELETIVO 2007
02. Uma fábrica deseja produzir uma chapa retangular a partir de uma chapa metálica que tem a forma de um triângulo isósceles. Suponha que A, B e C são os vértices da chapa triangular; que D, E, F e G são os vértices da chapa retangular; e que
AB = AC = 4 m e ABCˆ = 60o , conforme ilustra a figura ao lado. Determine:
a) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A e B.
b) a área S da chapa retangular em função de x , onde x é a abscissa do ponto D.
oo
c) as dimensões, em metros, da chapa retangular para que sua área seja máxima.
03. Durante uma tempestade, um pequeno avião saiu da cidade A com destino à cidade C, distante 945 km. Quando o avião estava no ponto D, distante 700 km do ponto de partida, o piloto detectou que o avião se desviara do seu curso
E
seguindo a trajetória AE , conforme ilustra a figura ao lado. Sendo α= 30o o
β
ângulo para um curso paralelo a AC e β o ângulo tal que α+β é o ângulo de
D
correção para que o avião chegue à cidade C, calcule: (Considere 
3 = 1,7 ) a) a distância entre B e D.
A
b) o ângulo de correção.
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04. A fim de medir a magnitude de um terremoto, os sismólogos Charles Francis Richter e Beno Gutenberg desenvolveram a escala Richter em 1935. Nesta escala, o maior terremoto já registrado foi o Grande Terremoto do Chile, em 1960, atingindo a magnitude de 9,5, seguido do ocorrido na Indonésia, em 2004, que atingiu a magnitude de 9,3. Na escala Richter, a magnitude M é dada por
M = log A − log A
0
onde log denota logaritmo decimal, A é a amplitude máxima medida pelo sismógrafo e A 0 é uma −7
amplitude de referência padrão. Sabese também que a energia E , em ergs (1 erg = 10 Joules), liberada em um terremoto está relacionada à sua magnitude M por meio da expressão log E = 11,8 + 1,5 M . A partir das informações acima, faça o que se pede:
a) Sabendo que no litoral do Brasil, em 1955, foi registrado um terremoto de magnitude 6,3 na escala Richter, determine a razão entre as energias liberadas nos terremotos ocorridos na Indonésia e no Brasil.
b) Considerando A1 a amplitude máxima de um terremoto e E1 sua energia, e A2 a amplitude máxima de outro terremoto e E2 sua energia, determine k tal que
k
A2 E2
= .
⎜⎟
AE
1 1
05. Durante um tratamento médico verificouse que a concentração C , em miligramas por litro, de um certo
medicamento na corrente sanguínea satisfaz a desigualdade (3 − C) ⋅ |C | − 2 |C − 3| ≥ 0
a) Verifique se a concentração do medicamento na corrente sanguínea pode ser igual a 0,5 miligramas por litro. Justifique, mostrando seus cálculos.
b) Determine o menor valor da concentração deste medicamento na corrente sanguínea. Justifique, mostrando seus cálculos.